几何问题是近几年国考省考考察的内容之一,而其中对于三角形的考察,又受考官青睐。今天,中公教育带领各位考生一起来全面学习一下三角形的相关考点。

一、构成条件:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

【例题1】若一个三角形的所有边长都是整数,其周长是偶数,且已知其中两边长分别为10和2000,则满足条件的三角形总个数是:

A.10 B.7 C.8 D.9

【中公解析】D。已知两边均为偶数,则第三边也为偶数。根据构成条件,1990<第三边<2010,满足的有1992、1994、1996、1998、2000、2002、2004、2006、2008,共有9组不同的三角形。故本题答案为D。

二、三角形面积:

【例题2】如图,在长方形ABCD中,已知三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积相等,则三角形AEF与三角形CEF的面积之比是:

A.5:1 B.5:2 C.5:3 D.2:1

【中公解析】A。由于长宽不确定,具有任意性,可设特值。将长方形ABCD视作为特殊的长方形-正方形。同时,因为其中三个区域面积相同,故总面积可设为3的倍数。

不妨设AD=3,DC=3,总面积为9.所以△ADF面积=×总面积=3.因为AD=3,所以DF=2,则FC=1.同理△ABE面积=3,AB=3,则BE=2,则EC=1。

所以,故△AEF与△CEF的面积比为5:1.故本题答案为A。

三、直角三角形

(1)勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图,记作(常用勾股数:3n、4n、5n,n为正整数)

(2)特殊直角三角形边长比:

【例题3】一艘游轮在海上匀速航行,航向保持不变。上午8时在游轮的正东方30海里处有一灯塔。上午10时30分该灯塔位于游轮的正南方40海里处,则在该时段内,游轮与灯塔距离最短的时刻是( )

A.8时45分 B.8时54分 C.9时15分 D.9时18分

【中公解析】B。距离最短时,游轮与灯塔的连线即为三角形的高。根据勾股定理,可得AB=50。根据常用勾股数(3n,4n,5n),结合三边比例,易知CD=24。进而可知AD=18。故运动时间为150×=54分钟。

四、三角形相似

1、相似的判定条件

(1)三角对应相等,两个三角形相似(AAA)

(2)两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似(SAS)

(3)三边对应成比例,两个三角形相似(SSS)

2、常用相似性质:

(1)相似三角形的对应边成比例;

(2)相似三角形的周长比等于相似比;

(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

【例题4】某市规划建设的4个小区,分别位于直角梯形ABCD的4个顶点处(如图),AD=4千米,CD=BC=12千米。欲在CD上选一点S建幼儿园,使其与4个小区的直线距离之和为最小,则S与C的距离是:

A.3千米 B.4千米 C.6千米 D.9千米

【中公解析】D。找到A点关于镜面CD的镜像,容易得到△A'DS与△SCB相似,故A'D:BC=SD:SC=1:3。所以SC=9.

五、三角形重心

1.重心:三角形三边中线的交点

2.性质:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

【例题5】如图,A-BCD是棱长为3的正四面体,M是棱上的一点,且MB=2MA,G是三角形BCD的重心,动点P在棱BC上,则PM+PG的最小值( )

【中公解析】B。展开图如图所示,因为G为重心,故BG为中线,也为正三角形的角平分线,故∠GBP为30°,且∠MBP为60°,容易发现∠MBG为直角。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,则根据勾股定理,故

【中公解析】B。距离最短时,游轮与灯塔的连线即为三角形的高。根据勾股定理,可得AB=50。根据常用勾股数(3n,4n,5n),结合三边比例,易知CD=24。进而可知AD=18。故运动时间为150×

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